2010年1月13日 21時13分終了#43280 [ネタ] しお騒がせしました、今度はごゆっくりどうぞ

ID:wu8wfPfBog (・∀・)ｲｲ!! (13)

「正12角形の頂点からランダムに異なる3点を選ぶとき」#43279で「その他、つかさかわいいよつかさ、12345、1森田ポ、アイウエオ」と答えた方への質問でした。

半径1の円に内接する正12角形の頂点からランダムに
異なる3点を選ぶとき、この３点で出来る三角形の面積の期待値は
(ア/イウ)(エ+√オ)
答えはアイウエオで
例えば(1/23)(4+√5)なら12345

1	森ゲッツ	155	(31.5%)
2	こなちゃんのくせに	107	(21.7%)
4	アイウエオ*	106	(21.5%)
5	41718*	82	(16.7%)
6	21153*	11	(2.2%)
3	その他	31	(6.3%)
無視		1

棒グラフまたは左の番号をクリックするとその項目を元にしたしっかりアンケートが作れます。
*がついている選択肢は「その他」の重複から自動的に追加されたものです。

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合計回答数: 492人 / 492個

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13 :名無しさん 10/01/11 01:25 ID:Ds2a5l5euw (・∀・)ｲｲ!! (1)

面積の求め方がわからん三角形があって苦戦中
頂点と外心を結んで分割するといいんじゃないか

14 :名無しさん 10/01/11 02:36 ID:h9jR8acfyi (・∀・)ｲｲ!! (3)

解けた＆空欄におさまったーすごい嬉しい
12通りに場合分けする不器用なやり方しちゃったけど
瞬殺できるコツがある気もする
模範解答待ってる

15 :１です 10/01/14 00:04 ID:Wx38BwwLqB (・∀・)ｲｲ!! (2)

励ましてくださった方、森を下さった方、ありがとうございました、元気が出ました。
そしてお付き合い頂いた皆様に感謝です！ID:gkWgjBpOr8さん、本当にありがとう！！
解答例を書いておきます。

三角形をABC、その面積をSとし、円の中心をOとする。
（>>13さんの仰る通り）△OBC,△OCA,△OABを考えると、
S=(1/2)(sin2A+sin2B+sin2C)となることがわかる。
（ABCが鈍角3角形かどうかで分けて図を書いてみると良いと思います）
期待値の加法性（高校なら数学Cで習うと思います、強力）と対称性から、
E(S)=(1/2){E(sin2A)+E(sin2B)+E(sin2C)}=(3/2)E(sin2A)となる。
よってsin2Aの期待値が求まればよい。
2Aが30°,60°,...,300°となる確率がそれぞれ10/55,9/55,...,1/55だから
（この辺は>>10さんの考え方ですね）
E(sin2A)=(1/55){10sin30°+9sin60°+...+sin300°}
=(1/55){10・(1/2)+9・(√3/2)+8・1+7・(√3/2)+6・(1/2)+5・0
　+4・(-1/2)+3・(-√3/2)＋2・(-1)+1・(-√3/2)}=(1/55)(12+6√3)
よってE(S)=(9/55)(2+√3)。

16 :名無しさん 10/01/14 00:07 ID:Wx38BwwLqB (・∀・)ｲｲ!! (0)

ちなみに上の和の求め方を工夫すれば、正12角形のかわりに正n角形としても出来て、
E(S)=3n/{2(n-1)(n-2)tan(π/n)}となります。

>>11 すみません、アイウエオは0〜9が1つずつ入る（重複OK）、と明記すべきでした。

＞9110312　惜しいです。(9/110)(3+√12)は正解の丁度√3/2倍です。
＞31223　惜しいです。(3/12)(2+√3)=(1/4)(2+√3)ですが、1/2倍した
(1/8)(2+√3)は「異なるとは限らない」3点を選ぶときの期待値ですね。
＞30403 これは「最大値」つまり正3角形になるときの面積3√3/4ですね。
＞32226 (3/22)(2+√6)=0.60674860...は正解の0.61069922...にかなり近いです。
どのようにしてこうなったか興味深いですね、誤差1％ないです。

他の方の回答も問題の解釈次第では正解なのかもしれませんね。

17 :名無しさん 10/01/14 00:09 ID:Wx38BwwLqB (・∀・)ｲｲ!! (0)

>>14さんに敬意を表し、12通りに分けるやり方も書いておきます。
何個隣りの頂点を取るかで分けます。面積は3分割で考えました。
(1,1,10) 確率3/55 面積(1/2)(2sin30°-sin60°)=(1/4)(2-√3)
(1,2,9) 確率6/55 面積(1/2)(sin30°+sin60°-sin90°)=(1/4)(-1+√3)
(1,3,8) 確率6/55 面積(1/2)(sin30°+sin90°-sin120°)=(1/4)(3-√3)
(1,4,7) 確率6/55 面積(1/2)(sin30°+sin120°-sin150°)=(1/4)√3
(1,5,6) 確率6/55 面積(1/2)(sin30°+sin150°)=(1/4)・2
(2,2,8) 確率3/55 面積(1/2)(2sin60°-sin120°)=(1/4)√3
(2,3,7) 確率6/55 面積(1/2)(sin60°+sin90°-sin150°)=(1/4)(1+√3)
(2,4,6) 確率6/55 面積(1/2)(sin60°+sin120°)=(1/4)・2√3
(2,5,5) 確率3/55 面積(1/2)(sin60°+2sin150°)=(1/4)・(2+√3)
(3,3,6) 確率3/55 面積(1/2)・2sin90°=(1/4)・4
(3,4,5) 確率6/55 面積(1/2)(sin90°+sin120°+sin150°)=(1/4)(3+√3)
(4,4,4) 確率1/55 面積(1/2)・3sin120°=(1/4)・3√3
したがってE(S)=(1/55)・(1/4){6(8+5√3)+3(8+√3)+3√3}=(9/55)(2+√3)。

以上です、ありがとうございました。

18 :名無しさん 10/01/14 00:38 ID:CEpijMQ5Ga (・∀・)ｲｲ!! (3)

＞9110312　惜しいです。(9/110)(3+√12)は正解の丁度√3/2倍です。
＞(1,5,6) 確率6/55 面積(1/2)(sin30°+sin150°)=(1/4)・2
＞(3,3,6) 確率3/55 面積(1/2)・2sin90°=(1/4)・4
しまったなぁ、1/4で括るの忘れてたよ…

19 :名無しさん 10/01/14 02:07 ID:Wx38BwwLqB (・∀・)ｲｲ!! (0)

惜しかったですね、99％出来てたようなものじゃないですか
気が向いたら>>18さんも出題してくださいね

（√3/2倍というのはは的外れでしたね、√3の係数は合ってるわけだし・・・）

20 :名無しさん 10/03/11 20:57 ID:tofas0Fzib (・∀・)ｲｲ!! (2)

>>13=14だけど
これと似た問題が志望校の二次で出た
正六角形から頂点３つで重複有り
テンプレっぽいけどやったことなかった
おかげで落ち着いて解けた
ありがとう

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